缆索通常被认为是只抗拉不抗弯构件，但是研究表明在动力特性计算中不考虑抗弯刚度会引起不可接受的误差[1]。频率计算是缆索动力分析中的重要问题，且频率法广泛用于缆索的索力测试。抗弯刚度对桥梁频率计算结果有很大影响[5]，但现有的频率计算公式[6]，对抗弯刚度的取值并没有深入研究，认为其是内部钢丝抗弯刚度之和，或是缆索截面等效圆截面的抗弯刚度。苏成等[7]则指出实际抗弯刚度应为钢丝完全粘结状态抗弯刚度的0.37倍。不同的抗弯刚度取值得到不同的频率计算结果，而根据频率法计算得到的索力也不相。对于短索，因其频率受抗弯刚度变化更显着，频率法得到的计算结果将带来较大误差，使其应用受到限制[8]。因此，计算缆索频率时，如何获得准确的抗弯刚度是一个至关重要的问题。
现有研究表明，缆索在受外力作用时内部钢丝间会产生滑移和摩擦力[9]。此时的缆索截面不再符合平截面假定，按照传统的梁理论计算会有很大误差。如图1所示，缆索抗弯刚度根据钢丝滑移的极限状态可分为完全滑移状态的最小抗弯刚度和完全粘结状态的最大抗弯刚度，且它们分别为缆索抗弯刚度的下限和上限。缆索真实的抗弯刚度处于两个极限抗弯刚度之间，且与其所受拉力密切相关[10－13]。Chen等[14]一系列的缆索抗弯刚度试验研究也表明，缆索两端拉力的增加能增大缆索抗弯刚度。Zhang等[15]则经过理论推导得到了缆索等效抗弯刚度的表达式，其结果表明等效抗弯刚度与缆索拉力有很大关系。
缆索拉力对其抗弯刚度的影响可以从内部钢丝的受力行为分析。缆索受外力作用时，内部钢丝之间会相互挤压，产生抵抗摩擦力，若抵抗摩擦力太小，则钢丝间会发生滑移，使钢丝无法共同作用抵抗外荷载。当缆索拉力增大时，钢丝之间相互挤压更紧密，使钢丝之间的抵抗摩擦力增大，滑移减小，抵抗弯曲变形的能力增强。因此，当拉力为零，则缆索只具有接近于完全滑移状态的钢丝自身抗弯刚度之和的最小抗弯刚度，当拉力达到一定程度，滑移不再发生，则缆索具有接近于钢丝完全粘结状态的最大抗弯刚度。实际抗弯刚度应根据拉力在最小抗弯刚度和最大抗弯刚度之间取值。
本文根据相关试验和理论研究成果，提出非线性的缆索抗弯刚度与拉力关系模型，并代入推导的频率计算公式中计算。算例分析表明抗弯刚度的取值不准确会产生交大误差，根据拉力对抗弯刚度进行修正可以获得更精确结果，实际应用时有必要进行修正。
1 方程推导
1.1 等效抗弯刚度与应力关系
Zhang等[15]经过理论研究分析得到了缆索钢丝应力与钢丝抵抗滑移变形能力之间的线性关系式，并进而获得了与拉力相关的等效抗弯刚度的表达式。但是该表达式过于复杂，难以直接应用，且其参数分析表明，对于应力大于300 MPa且长度大于5 m的缆索，可以近似认为其等效抗弯刚度等于最大抗弯刚度。考虑到缆索抗弯刚度处于最小抗弯刚度和最大抗弯刚度之间，则可以用一个非线性关系来表达截面平均应力与等效抗弯刚度之间的关系，如图2所示。
图2中EImin为各钢丝自身抗弯刚度之和，是缆索拥有的最小抗弯刚度，EImax为钢丝完全粘结状态下的最大抗弯刚度，EI为修正抗弯刚度，σ为缆索截面钢丝平均应力。在应力为零情况下，缆索只具有最小抗弯刚度，其后随着应力增大而线性增大，当应力到达300 MPa以后则认为达到最大抗弯刚度，并随着应力增大保持不变。
1.2 控制微分方程推导
假设缆索为等截面缆索，具有一定的抗弯刚度EI，且两端受到拉力T作用，则其动力控制方程为[5]：
由式(9)可知，缆索频率同时受到拉力和抗弯刚度的影响，结合2.1节应力和抗弯刚度的关系，计算时应先根据拉力求得应力及相应的等效抗弯刚度，再代入式(9)进行频率计算。采用频率法测索力时，当测得缆索频率后，同样要先考虑拉力与抗弯刚度之间的关系，再通过式(9)得到准确的拉力。
2 算例分析
为验证修正抗弯刚度的重要性，这里选择常用的平行钢丝缆索进行算例分析，基本计算参数如表1所示。缆索边界条件为简支，根据拉力修正后的抗弯刚度按式(9)计算其第一阶自振频率。为了对比不同抗弯刚度取值对频率的影响，这里定义频率0ω、ωmin、ω和ωmax，分别表示不考虑抗弯刚度、考虑最小抗弯刚度EImin、考虑修正抗弯刚度EI和考虑最大抗弯刚度EImax所对应的第一阶自振频率。
图3为在不同拉力作用下采用不同抗弯刚度所得到的第一阶自振频率变化图。从图中可以看出，ωmax和ω0分别为最大和最小频率，ωmin和ω0很接近，这是因为EImin的数值相对较小，ω则和预期的一样处于ωmax和ωmin之间。各频率之间误差巨大，且拉力越小差距越大，当拉力增大时相对误差会减小，但误差仍然不可忽视。
表2为在相同拉力情况下不同长度缆索的各频率对比图。从表中同样可以看到ωmin和ω0始终基本一致，ω和ωmax与ω0相比误差巨大，且ω和ωmax之间也有相当大的误差。同时可以发现索长越短各频率之间的误差越大。因此，不考虑抗弯刚度，考虑最小抗弯刚度或考虑最大抗弯刚度都将带来难以忽略的误差，特别是对于短索。
修正抗弯刚度对缆索频率的影响程度需要根据式(9)进行分析。首先，缆索抗弯刚度本身在不同拉力情况下变化巨大，从表1中可以看到，EImin和EImax相差近两个数量级，因此对应的频率也相差较大。其次，抗弯刚度仅在式(9)第二项起作用，而该项分母有长度L的4次方，因此长度增加会减弱抗弯刚度的影响。最后，抗弯刚度的影响程度最终取决于式(9)中第二项与第一项的比值大小，所以随着拉力增加不同抗弯刚度获得的频率误差也逐渐减小。
3 结论
本文从缆索内部受力变形机理出发，根据相关理论和试验研究，提出了应力与抗弯刚度的非线性关系模型，推导了考虑抗弯刚度的缆索频率计算公式，并给出通过拉力对抗弯刚度进行修正的方法。算例分析表明，不考虑抗弯刚度、考虑最小抗弯刚度和考虑最大抗弯刚度所得到的频率都具有难以忽视的误差，且索长越短误差越大，故有必要根据拉力对抗弯刚度进行修正，特别是短索。本文推导和结果可作为基础，进一步推导得到不同边界条件下的频率计算公式；同时，还需要进行更深入的相关理论与试验研究，获得更精确的用拉力修正抗弯刚度的关系模型。
